Reeksen met uitsluitend positieve termen

Integraalcriterium van Cauchy

Als er voor een reeks met positieve termen $\sum a_n$ een reële functie f bestaat zodat:

• f continu en dalend is over $[m, +\infty[$

• $f(n) = a_n$ dan geldt:

• $\int_m^\infty f(x)dx \in \mathbb{R} \implies \sum a_n$ is convergent

• $\int_m^\infty f(x)dx = \infty \implies \sum a_n$ divergent naar $\infty$

Vergelijkingscriterium 1

Zijn $\sum a_n$ en $\sum b_n$ twee reeksen met positieve termen waarvoor $a_n \leq b_n$ (met a de minorante reeks en b de majorante) dan geldt:

$\sum b_n$ is convergent $\implies \sum a_n$ is convergent $en$ \sum a_n $is divergent$ \implies \sum b_n $is divergent$

Vergelijkingscriterium 2

Zijn er twee reeksen $\sum a_n$ en $\sum b_n$ en is de $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$ noch nul noch oneindig dan zijn de reeksen samen convergent of divergent. Wat de een doet, doet de andere ook.

Convergentiecriterium van d'Alembert

Bereken de volgende limiet: $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$

• Is deze limiet kleiner dan 1 dan is de reeks convergent.
• Is deze limiet groter dan 1 dan is de reeks divergent.
• Is deze limiet gelijk aan 1 dan hebben we geen besluit.

Convergentiecriterium van Cauchy

Bereken de volgende limiet: $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}$

• Is deze limiet kleiner dan 1 dan is de reeks convergent.
• Is deze limiet groter dan 1 dan is de reeks divergent.
• Is deze limiet gelijk aan 1 dan hebben we geen besluit.