Basisbegrippen differentiaalvergelijkingen
Inleiding
Een differentiaalvergelijking (DVG) is een wiskundige vergelijking voor een functie waarin een of meer afgeleiden van die functie voorkomen.
Een voorbeeld hiervan is:
Definities
Een oplossing is elke functie die voldoet aan de differentiaalvergelijking.
De orde van de DVG is de orde van de hoogste afgeleide die voorkomt in de vergelijking.
De graad is de exponent van de macht waarmee de hoogste afgeleide voorkomt.
Soorten
Er zijn drie soorten oplossingen:
- Algemene oplossing (AO) : Een gelijkheid waarin nog constanten (met het aantal = orde van de DVG) voorkomen.
- Particuliere oplossing (PO) : De AO waarvan de constante ingevulde waarden hebben.
Singuliere oplossing (SO) : Grafisch is dit de omhullende kromme van de PO's, deze kan niet door de AO voorgesteld worden.
De differentiaalvergelijking van een familie krommen
Methode:
- Leid n keer af
- Dit geeft een stelsel van n+1 vergelijkingen
- Elimineer de constanten
Opmerkingen:
- Let op met de orde van de DVG, deze bepaalt niet altijd het aantal constanten van de AO.
- Soms is een oplossing te schrijven in minder constanten dan aanvankelijk gedacht.