DVG van eerste orde en eerste graad

Notatie: $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

Gescheiden veranderlijken

Dit is het geval als je de gelijkheid kan schrijven opdat beide leden geïntegreerd kunnen worden naar respectievelijk 2 verschillende veranderlijken. Concreet a aantal vergelijkingen in functie van x in het linkerlid en b aantal vergelijkingen in functie van y in het rechterlid.

Homogene DVG's

Een DVG is homogeen als $M(x,y)$ en $N(x,y)$ homogeen zijn van dezelfde graad.

Totale DVG's

Een DVG is totaal of exact als het eerste lid van de vergelijking een totalle differentiaal is of m.a.w. als er een functie $F(x,y)$ bestaat zodat $dF(x,y) = M(x,y) + N(x,y)dy$

TODO: Bewijs + stelling van Clairaut

Opmerkingen:

• Let op dat DVG naar nul is herleid voor je de voorwaarde van Euler controleert.
• Als je een totale DVG met een veranderlijke vermenigvuldigt is ze meestal niet meer totaal.

Lineaire DVG's

Een DVG is lineair in y en y' als ze kan geschreven worden in de vorm: $y' + yP(x) = Q(x)$

Methode: stel y=uv (of x=uv), de DVG wordt dan:

$u'v + v'u + uvP(x) = Q(x)$

Kies vervolgens een functie v zodat de coëfficiënt van u nul wordt: m.a.w. $v' + vP(x) = 0$

DVG van Bernoulli

Deze is van het type: $y' + yP(x) = y^nQ(x)$

Methode:

• Deel de vergelijking door $y^n$.
• Stel $z = y^{1-n}$.
• Zo krijg je een nieuwe vergelijking die lineair is in z en z'.