Basisbegrippen Laplace

De Heaviside functie

De heaviside functie (ook wel eenheidsstapfunctie genoemd) wordt $\forall a \in \mathbb{R}$ gedefineerd als:

$H(t-a)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 \quad t < a\\ 1 \quad t > a \end{array} \right.$

Stuksgewijze continue functies worden vaak met behulp van de Heaviside functie gedefineerd.

Voorbeeld:

$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 \quad \quad t < -2\\ -1 \quad -2 < t < 0 \\ 1 \quad \quad 0 < t < 1 \\ 0 \quad \quad 1 < t \end{array} \right.$

$f(t)$ kan dan met met behulp van de Heaviside geschreven worden als

$f(t) = -H(t+2) +2H(t)-H(t-1)$.

Tips & werkwijze: Voeg altijd een regel toe die zegt dat de functie causaal is (dit is 0 voor t < 0). Redeneer en onthou "min de vorige plus de huidige" (of een variant: min de huidige plus de volgende).

De Dirac deltafunctie

Definitie

De Dirac deltafunctie (ook wel eenheidsimpuls genoemd) wordt $\forall a \in \mathbb{R}$ gedefineerd als:

$\left\{ \begin{array}{ll} \delta(t-a)=0 \quad t \neq a\\ \int_{a-\epsilon_{1}}^{a+\epsilon_{2}} \delta(t-a) dt = 1 \quad \forall \epsilon_{1}, \epsilon{2} > 0 \end{array} \right.$

De Dirac deltafunctie kan men beschouwen als een limiet van een reeks functies. Merk ook op dat de dirac deltafunctie geen echte functie is.

Eigenschappen

1. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t-a) dt = f(a)$ voor elke functie $f(t)$ continu in de omgeving van a.

2. $\frac{\mathrm{d}H(t-a)}{\mathrm{d}t} = \delta(t-a)$.

Causale functie

Men noemt een functie $f(t)$ causaal indien $f(t) = 0,\quad t < 0$. Tijdsafhankelijke functies illustreren dit (vandaar ook de keuze t als afhankelijke veranderlijke).

Functies van exponentiële orde

Men noemt $f(t)$ van exponentiële orde indien er reële constanten M en a bestaan, M > 0 zodat

$\forall t > N : |f(t)| < M e^{at}$, of m.a.w $|f(t)|e^{-at} < M$

Men zegt dat f(t) dan van exponentiële orde a is indien a het kleinste getal is waarvoor dit geldt.

Wil je dit praktisch onderzoeken dan bereken je een limiet:

Er bestaat een $a \in \mathbb{R}$ zodat $\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{|f(t)|}{e^{at}} \in \mathbb{R}$.

Definitie van de Laplacetransformatie

Is f(t) causaal, dan definieert men de Laplacegetransformeerde van f(t) als de oneigenlijke Riemann-integraal:

$\mathscr{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st} dt , \quad s \in \mathbb{C}$.

De Laplacegetransformeerde is dus een functie van $s \in \mathbb{C}$ en zet een causale functie in t om naar een functie over de complexe getallen ( $= F(s)$).

TODO bewijs (p5): aantonen dat F(s) bestaat indien de integraal absoluut convergeert.

Opmerking 1: Uit de definitie blijkt dat het bestaan van $\mathscr{L}\{f(t)\}(s)$ evenwaardig is met het convergeren van de oneigenlijke integraal. Deze integraal hangt af van de causale functie en van de complexe variabele s.

Opmerking 2: Uit de definitie volgt ook de lineariteit van de Laplacetransformatie.

Het Laplacebeeld bestaat indien f(t) causaal is, stuksgewijs continue over elk eindig interval ]0,N] en exponentieel van orde a voor t > N.

Merk ook op dat het laplacebeeld enkel gedefineerd is voor causale functies. Impliciet staat de Heaviside functie in t (H(t)) ook na elke functie (=causaal).